t検定の項と同じく，気象庁のオープンデータから，1977年〜2018年の，江戸川臨海，東京，青梅，八王子，練馬，府中の5箇所の，1月の月平均気温データと，8月の月平均気温データを用いる．
前回とは異なるデータ形式にする必要があるので，Googleスプレッドシートをコピーしておくこと．
異なる2地点以上の比較
前回のt検定は，2つの群の間で，統計的に本当に違いがあるかをいうためのものだった．，
今回は，1977年〜2018年の，青梅，八王子，府中の3箇所，つまり3群で違いがあるかを見る．
分散分析(一元配置分散分析)とは
今回の場合は「3つ以上の地点の気温データ群の間の差を，統計的に（ある程度）保証してくれる」のが分散分析である．要するに3群以上の検定．
分散分析にもt検定と同じく，対応がある場合と対応がない場合があるので，前回を復習しておくこと．今回は対応がない場合のみを取り扱う．
分散が等しいかどうかをみる時（t検定でいうF検定に相当）と，分散分析をする時では，食わせるデータの形が違っていることに注意．Rで多く使われている分散分析のパッケージ（aov関数）を使うには，データが「スタック形式」になっている必要がある．
Bartlett検定
t検定では，2群の分散（散らばり方）が等しい時とそうでない時で，適用する方法が違っていた．（Studentのt検定と，Welchのt検定）3群以上の場合に等分散性をみるのがBartlett検定である．
F検定と同じく，帰無仮説は「与えられた3群（以上）の分散は等質である」，対立仮説は「与えられた3群（以上）の分散は等質であるとは言えない」である．したがって結果のp値の見方も同じく，0.05以上であれば帰無仮説が棄却されず「分散が等質である」となる．
bartlett.test関数を用いるが，分散分析と同じく，データが「スタック形式」になっている必要がある．
データの形式：アンスタック形式とスタック形式
Rの標準の分散分析およびBartlett検定は，t検定とは異なり「値とラベルがペアになったものがたくさんある」というデータ形式で与えなければならない．ここでいう「ラベル」とは，この値がどの群のものなのか，を表す．
気温の配列は全部繋げた上で，観測地点ラベルの配列も作り，それを2次元配列にまとめる．その後次元を変更し 「気温と観測地点ラベルが対応したペアが，126個存在する」という感じに変更する．
このような，値とラベルが順不同で積み重なっているデータ形式を「スタック形式」という．それに対して先に作った表のデータは「アンスタック形式」と言う．表にするとわかりやすい．
アンスタック形式のデータのイメージ
| 江戸川 | 青梅 | 八王子 |
|---|---|---|
| 3.1 | 0.7 | 0.9 |
| 5.4 | 2.6 | 2.9 |
スタック形式のデータのイメージ
| 気温 | 地点ラベル |
|---|---|
| 3.1 | 江戸川 |
| 0.7 | 青梅 |
| 0.9 | 八王子 |
| 5.4 | 江戸川 |
| 2.6 | 青梅 |
| 2.9 | 八王子 |
データの作成
Googleスプレッドシートで「スタック形式」のデータを作成する．
1月のCSVファイルを読み込んだ状態．CSVファイルはt検定で使ったものと同一である．
スプレッドシート本体のファイル名を変更しておく．
シートの名前も変更しておく．
t検定の時と同じように，不要な行列を削除する．
今回は，青梅，八王子，府中の3箇所を比較するので，それ以外の列は削除．
青梅，八王子，府中だけが残った状態．これは「アンスタック形式」．
一番上に行を挿入．ここに新しい列名を入れる．
「値」の列名として「平均気温」，地点ラベルの列名は「群」にする．
八王子の1977年〜2018年を「切り取り」
青梅の下（2018年の下）に「貼り付け」
青梅と八王子の平均気温が1列に「スタック」（積み重ね）された．
同じく府中のデータも切り取って，
八王子のデータの下に貼り付け．
青梅と八王子と府中の平均気温が1列に「スタック」された．
「青梅」というセルを「コピー」して，
青梅の値が入っている一つ右，つまり1977年〜2018年の一つ右のセルを選択して，「貼り付け」
青梅の値である「平均気温」と，群ラベルである「地点」がセットになった．
同じように，八王子と府中の群ラベルもコピーして，群ラベルを完成させる．
元々の列名があった行，つまり「青梅」だけが入っている3行を削除．
同じように「八王子」だけが入っていた元々の列名があった行を削除．
府中も削除
そうしたら，同じようにCSV形式で「Webに公開」しておく．
url <- '公開したURL'
df <- read.csv(url, header=TRUE) # header=TRUE は第１行が列の変数名
# 欠損値のある行を削除
df <- na.omit(df)
head(df)Rで読み込み，頭数行を表示．
ちゃんとできているか，一応printしてスクロールしながら全部チェックする．
print(df)
Bartlett検定
# Barlett検定
bartlett.test(formula=df$'平均気温'~df$'群')
Bartlett検定を実行する．formulaオプションに与えるのは， 目的変数のベクトル~説明変数のベクトルという形式．（なんとなく想像がつくと思うが，実は線形分析をやっている）
Bartlett検定の帰無仮説は「分散は等質である」，対立仮説は「分散は等質とは言えない」．
Bartlett検定の結果は以下の通り．
Bartlett test of homogeneity of variances
data: df$平均気温 by df$群
Bartlett's K-squared = 0.0092943, df = 2, p-value = 0.9954p値が，0.99と高く，0.05を大きく上回っているので，帰無仮説は棄却されず「3つの地点の1月の平均気温の分散は等質である」ということになる．
分散分析
bartlett検定と同じように，formulaオプションをつけて列名を入れ，aov関数を呼び出すと，それだけで分散分析ができる．aov関数の結果をみるときには変数に代入し，summary関数で表示することに注意．
result_aov <- aov(formula=df$'平均気温'~df$'群')
summary(result_aov)結果表示は以下の通りになる．
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
df$群 2 39.0 19.502 15.76 8.07e-07 ***
Residuals 123 152.2 1.238
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Pr(>F)の項目がp値である．結果は8.07e-07なので，十分に小さく，帰無仮説「3つの地点の1月の平均気温には差がない」が棄却された，つまり「3つの地点での1月の平均気温には差がある」と言うことができる．
その行の下は，***の数で何％水準で優位さがあると言えるかを表しており，1行目に***とアスタリスクが3つついていることから，今回の3地点に関して，ほぼ確実に「統計的に違う」と言って良い．
多重検定
この「有意差が出た」時点で平均だけを見て「全部の地点で差がある！」といってしまいがちだが，そうではなく「どこか1つ以上の地点で差がある」だけである．
分散分析自体は，どの群とどの群に差があるのかを出してくれないため，それを見つけるために多重検定というのを行う．
全ての地点を「クロス」で検定するみたいな言葉のイメージで，一番簡単なのが「分布の調整による多重比較法であるTukey-Kramerの多重検定」と呼ばれる手法である．
「Tukey-Kramerの多重検定」は，「各群の母分散も等しい(分散の等質性)」時につかえる．各群のサイズが等しくなくてもよい（この場合だと全ての地点が42個で同じサイズだが）．
「各群の母分散も等しい」とは，簡単に言えば「全ての地点の気温データのばらつきの形が，だいたい同じ」と思っておくと良い（これは統計的にも確かめることができる．母分散の定義は「母集団の特徴を表す母数」参考: 母分散と不偏分散)
ちなみに名前の似ている「Tukeyの方法」という多重検定方法もあるが，これは各群のサイズが同じである必要がある．(R
で標準で使えるTukeyHSD関数はTukey-Kramerなので，群サイズを気にせず使える．TukeyHSDの「HSD」は，Honestly Significant Differenceの略で，Tukey-Kramerの別名）
実行は以下のようにする．
TukeyHSD(result_aov)
Tukey-Kramerの関数TukeyHSDは，aov関数の「結果を使う」ことに注意．（先ほどaov関数の結果を変数に代入し，summary関数で表示したのはこのため）
tukey-Kramerの結果は以下のようになる．
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = df$平均気温 ~ df$群)
$`df$群`
diff lwr upr p adj
府中-八王子 1.0095238 0.4336054 1.5854422 0.0001752
青梅-八王子 -0.2880952 -0.8640137 0.2878232 0.4632930
青梅-府中 -1.2976190 -1.8735375 -0.7217006 0.0000013
一番右のp adjという列名になっている列がp値（正確には調整p値）である．
この結果を見ると，青梅-八王子間のみが，0.05を上回っている．
すなわち，青梅-八王子間は「同じ」という帰無仮説が棄却されなかったことになり，逆に府中-八王子間，府中-青梅間では棄却されていることから「1977年から2018年までの1月平均気温では，この3地点のみでは府中だけが有意に気温が高い」ということができる．
分散分析と多重比較
「多重比較の方でも有意差を出してくれるなら，多重比較だけやればいいのではないか？」という疑問が出てくる．
「分散分析では有意差が出なかったが，Tukey-Krammerの多重比較では有意差が出た」なんてこともありうるし，その逆，つまり「分散分析で有意差が出たが，Tukeyの多重比較では有意差が出なかった」ということもありうる．特に群が増えてくるとTukeyの多重比較では「帰無仮説の数が増えて有意になりにくくなる」．
つまり，分散分析と多重比較は完全に別のものであり，従属関係にはない．「分散分析で有意差がある→多重比較を行う」ではなく，両方を独立させて目的に応じて適用を考える必要がある．
t検定を3回やってはダメな理由
多重比較を使わずに，最初からt検定を3回やればいいのでは？と思うかもしれないが，これはやってはいけない．
青梅，八王子，府中で，2群間の検定をそれぞれ「青梅-八王子間」「八王子-府中間」「府中-青梅間」でそれぞれ「有意水準5%で行う」とすると，「この組み合わせの少なくとも1つは有意差がある」となる確率の計算式は以下のようになる．
1 - (1 - 0.05) * (1 - 0.05) * (1 - 0.05)つまり「0.05を基準に検定したつもりが実際には0.14で検定している」ことになってしまう．0.14の基準は0.05よりもはるかに甘いので「非常に甘く見ている」ということである．
これは当然「比較する群が増えれば増えるほど甘くなる」ということであるから，3群以上の場合は必ず分散分析と多重比較を行う．
二元配置分散分析
今回行なった一元配置分散分析は，前述の通りアンスタック形式の表で言えば以下のようになる．
| 青梅 | 八王子 | 府中 |
|---|---|---|
| 22.8 | 23.7 | 23.8 |
| 26.6 | 27.4 | 27.6 |
| 24.9 | 25.9 | 26.1 |
| 21.7 | 22.4 | 22.5 |
これに対し二元配置分散分析というものもあり，2つの要素の違いを見る．例えば観測地点の名称ではなく，観測時点でのその地点の天気で見ると，以下のようなデータを取り扱うことになる．（平均気温ではなく，その観測時の気温）
| 観測時の天気\観測地点 | 青梅 | 八王子 | 府中 |
|---|---|---|---|
| 晴れ | 26.6 | 27.4 | 27.6 |
| 晴れ | 26.6 | 27.4 | 27.6 |
| 雨 | 24.9 | 25.9 | 26.1 |
| 雨 | 21.7 | 22.4 | 22.5 |
これを分析する時には，以下の3点に注目することになる．
- 地点によって気温に違いはあるのか
- 天気によって気温に違いはあるのか
- 地点と天気の2つの要素による相乗効果はあるのか
この3つ目の「相乗効果」を「交互作用」と呼び，交互作用を分析するのがわざわざ天気を入れた理由であり，これを分析することが二元配置分散分析となる．
